安全员7大职责 xy2在x2+y2<=4的定义域内的二重积分为多少
- 2025-07-13 09:23:35
首先，我们来解析您的问题，它包含了两个部分：
1. 安全员7大职责。
2. 计算二重积分 \(\iint_{D} xy \, dy \, dx\)，其中 \(D\) 是由 \(x^2 + y^2 \leq 4\) 定义的区域。
对于第一部分，安全员的7大职责通常包括：
1. 负责制定和实施公司的安全生产管理制度。
2. 监督安全生产法规的执行情况。
3. 负责安全教育培训和宣传教育工作。
4. 检查、消除生产现场的安全隐患。
5. 负责安全事故的调查和处理。
6. 指导和监督安全生产技术的改进和应用。
7. 参与制定应急救援预案。
接下来，我们解决第二部分的问题，计算二重积分。
二重积分 \(\iint_{D} xy \, dy \, dx\)，其中 \(D\) 是以原点为圆心，半径为2的圆内的区域（即 \(x^2 + y^2 \leq 4\)）。
首先，我们可以转换到极坐标系来简化积分过程。在极坐标系中，\(x = r\cos\theta\) 和 \(y = r\sin\theta\)，且 \(dx \, dy = r \, dr \, d\theta\)。区域 \(D\) 对应的极坐标范围是 \(0 \leq r \leq 2\) 和 \(0 \leq \theta \leq 2\pi\)。
因此，积分可以表示为：
\[
\iint_{D} xy \, dy \, dx = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^2 \cos\theta \sin\theta \, dr \, d\theta
\]
现在，我们先对 \(r\) 积分：
\[
\int_{0}^{2} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}
\]
然后对 \(\theta\) 积分：
\[
\int_{0}^{2\pi} \cos\theta \sin\theta \, d\theta
\]
利用三角恒等式 \(\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta\)，我们可以将上式转换为：
\[
\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \sin(2\theta) \, d\theta
\]
由于 \(\sin(2\theta)\) 是一个周期为 \(\pi\) 的函数，且在一个周期内积分为0，所以：
\[
\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \sin(2\theta) \, d\theta = 0
\]
因此，整个二重积分的结果为：
\[
\iint_{D} xy \, dy \, dx = \frac{8}{3} \times 0 = 0
\]
所以，区域 \(x^2 + y^2 \leq 4\) 内的二重积分 \(\iint_{D} xy \, dy \, dx\) 的值是0。
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