x2+y2-x的二重积分,其中d xy2的二重积分其中d是由圆周

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在数学的世界里，二重积分是一个充满魅力和挑战的概念。今天，我们要探讨的是这样一个问题：计算函数 \(x^2 + y^2 - x\) 在特定区域 \(d\) 上的二重积分。这个区域 \(d\) 是由圆周 \(x^2 + y^2 = 1\) 所围成的圆形区域。

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首先，我们需要明确二重积分的定义。二重积分是将一个函数在一个二维区域上的积分分解为两个一重积分的累加。具体来说，对于函数 \(f(x, y)\) 在区域 \(D\) 上的二重积分，可以表示为：

\[

\iint_D f(x, y) \, dx \, dy

\]

在这个问题中，我们的函数是 \(f(x, y) = x^2 + y^2 - x\)，而区域 \(D\) 是由圆周 \(x^2 + y^2 = 1\) 所围成的圆形区域。

为了计算这个二重积分，我们首先需要确定积分的上下限。由于 \(D\) 是一个圆形区域，我们可以选择极坐标来简化计算。在极坐标下，\(x = r\cos\theta\)，\(y = r\sin\theta\)，其中 \(r\) 是从原点到点 \((x, y)\) 的距离，\(\theta\) 是从正 \(x\) 轴到点 \((x, y)\) 的连线与正 \(x\) 轴的夹角。

由于 \(D\) 是由圆周 \(x^2 + y^2 = 1\) 所围成的圆形区域，我们可以得到 \(r\) 的取值范围是从 0 到 1。而 \(\theta\) 的取值范围是从 0 到 \(2\pi\)，因为我们要计算整个圆的面积。

现在，我们可以将二重积分表示为极坐标下的形式：

\[

\iint_D (x^2 + y^2 - x) \, dx \, dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^2 - r\cos\theta) r \, dr \, d\theta

\]

接下来，我们分别对 \(r\) 和 \(\theta\) 进行积分。首先，对 \(r\) 进行积分：

\[

\int_0^1 (r^3 - r^2\cos\theta) \, dr = \left[\frac{1}{4}r^4 - \frac{1}{3}r^3\cos\theta\right]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{3}\cos\theta

\]

然后，对 \(\theta\) 进行积分：

\[

\int_0^{2\pi} \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3}\cos\theta\right) \, d\theta = \left[\frac{1}{4}\theta + \frac{1}{3}\sin\theta\right]_0^{2\pi} = \frac{\pi}{2}

\]

因此，函数 \(x^2 + y^2 - x\) 在由圆周 \(x^2 + y^2 = 1\) 所围成的圆形区域 \(D\) 上的二重积分等于 \(\frac{\pi}{2}\)。这个结果展示了二重积分在解决几何问题中的强大能力，同时也让我们对数学的美妙有了更深的认识。

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