与球面x2+y2+z2=9相切于点221的平面方程 平面与球面相切求切点

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在数学的世界里，球面与平面相切的问题是一个充满挑战性的课题。本文将探讨如何求解与球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) 相切于点 \(P(2, 2, 1)\) 的平面方程，并分析求解过程。

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首先，我们需要明确球面与平面相切的条件。对于一个球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = R^2\) 和一个平面 \(Ax + By + Cz + D = 0\)，它们相切的条件是：球心到平面的距离等于球的半径 \(R\)。

在本题中，球面方程为 \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\)，球心 \(O\) 的坐标为 \((0, 0, 0)\)，半径 \(R = 3\)。我们需要找到一个平面，使得它既通过点 \(P(2, 2, 1)\)，又与球面相切。

为了求解这个问题，我们可以采用以下步骤：

1. 设所求平面的方程为 \(Ax + By + Cz + D = 0\)。由于平面通过点 \(P(2, 2, 1)\)，代入该点的坐标，得到方程 \(2A + 2B + C + D = 0\)。

2. 根据球面与平面相切的条件，球心到平面的距离等于球的半径。球心到平面 \(Ax + By + Cz + D = 0\) 的距离公式为 \(\frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)。将球心坐标 \((0, 0, 0)\) 和半径 \(R = 3\) 代入，得到方程 \(\frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = 3\)。

3. 联立以上两个方程，得到一个关于 \(A\)、\(B\)、\(C\) 和 \(D\) 的方程组。解这个方程组，我们可以得到满足条件的平面方程。

4. 由于题目要求平面与球面相切于点 \(P(2, 2, 1)\)，我们需要验证解出的平面方程是否满足这个条件。将点 \(P\) 的坐标代入平面方程，如果等式成立，则说明该平面与球面相切于点 \(P\)。

通过以上步骤，我们可以求解出与球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) 相切于点 \(P(2, 2, 1)\) 的平面方程。这个过程不仅考验了我们对数学知识的掌握，还锻炼了我们的逻辑思维能力。在解决这类问题时，我们要善于运用已知条件，结合数学公式，逐步推导出答案。

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