xy2的二重积分其中d是由圆周 x2加y2小于等于4的二重积分

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在数学领域，二重积分是一个重要的概念，它涉及到对平面区域上的函数进行积分。本文将探讨一个具体的二重积分问题：计算函数xy^2在由圆周x^2+y^2≤4所围成的区域D上的积分。

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首先，我们需要明确积分区域D的形状。由圆周x^2+y^2≤4可知，这是一个半径为2的圆。为了方便计算，我们可以将这个圆分为两个部分：第一象限内的部分和其余三个象限的部分。

接下来，我们考虑如何计算这个二重积分。由于被积函数xy^2关于x是奇函数，而积分区域D关于y轴对称，因此我们可以只计算第一象限内的积分，然后将结果乘以2。这样，我们只需要计算以下积分：

∫∫D xy^2 dA

其中，dA表示区域D上的面积元素。由于D是第一象限内的圆弧，我们可以将积分区域D表示为：

D = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, √(4 - x^2) ≤ y ≤ 2}

现在，我们可以将二重积分写成迭代积分的形式：

∫∫D xy^2 dA = ∫(0, 2) ∫(√(4 - x^2), 2) xy^2 dy dx

接下来，我们计算内层积分：

∫(√(4 - x^2), 2) xy^2 dy = x ∫(√(4 - x^2), 2) y^2 dy

为了计算这个积分，我们需要使用分部积分法。令u = y^2，dv = dy，则du = 2y dy，v = y。根据分部积分法，我们有：

∫ y^2 dy = y^3/3 + C

将上述结果代入内层积分，得到：

∫(√(4 - x^2), 2) xy^2 dy = x [(y^3/3) | (√(4 - x^2), 2) - ∫(√(4 - x^2), 2) y^2 dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√(4 - x^2), 2) xy^2 dy = x [(2^3/3) - ∫(√(4 - x^2), 2) y^2 dy]

现在，我们需要计算外层积分：

∫(0, 2) x [(2^3/3) - ∫(√(4 - x^2), 2) y^2 dy] dx

为了计算这个积分，我们需要使用换元积分法。令u = 4 - x^2，则du = -2x dx。当x = 0时，u = 4；当x = 2时，u = 0。因此，我们可以将外层积分写成：

∫(0, 2) x [(2^3/3) - ∫(√(4 - x^2), 2) y^2 dy] dx = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√(4 - x^2), 2) y^2 dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√(4 - x^2), 2) y^2 dy = ∫(√u, 2) y^2 dy

再次使用分部积分法，得到：

∫(√u, 2) y^2 dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y^2 dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du = -1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du = -1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du = -1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du = -1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du = -1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du = -1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du = -1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du = -1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du = -1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du = -1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du = -1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上式，得到：

∫(√u, 2) y dy = [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]

现在，我们需要计算外层积分：

-1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du = -1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy] du

将y = 2代入上式，得到：

-1/2 ∫(4, 0) [(2^3/3) - [(2^3/3) - ∫(√u, 2) y dy]] du = -1/2 ∫(4, 0) [∫(√u, 2) y dy] du

现在，我们需要计算内层积分：

∫(√u, 2) y dy = [(y^3/3) | (√u, 2) - ∫(√u, 2) y dy]

将y = 2代入上

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