xy2二重积分 x2+y2小于等于4 xy2的二重积分其中d是由圆周

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在数学的海洋中，二重积分是一个神秘而迷人的领域。今天，让我们一起来探索一个有趣的二重积分问题：求解区域D上的积分，其中D是由圆周x²+y²≤4所围成的区域。

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首先，我们来明确一下积分的表达式。根据题目要求，我们需要计算以下二重积分：

∬D xy² dA

其中，dA表示区域D上的面积元素。为了计算这个积分，我们需要先确定积分区域D的边界。根据题目条件，D是由圆周x²+y²≤4所围成的区域。这意味着，我们可以将积分区域D表示为：

D = {(x, y) | x² + y² ≤ 4}

接下来，我们需要确定积分的上下限。由于D是由圆周x²+y²≤4所围成的区域，我们可以将积分区域D分为两部分：第一象限和第四象限。在第一象限，x和y都是非负的，而在第四象限，x是非负的，y是非正的。

因此，我们可以将积分表达式拆分为两部分：

∬D xy² dA = ∬D₁ xy² dA + ∬D₄ xy² dA

其中，D₁表示第一象限的积分区域，D₄表示第四象限的积分区域。

现在，我们来计算这两个积分。首先，计算第一象限的积分：

∬D₁ xy² dA = ∫₀²∫₀²xy² dy dx

在这个积分中，我们首先对y进行积分，然后对x进行积分。计算过程如下：

∫₀²∫₀²xy² dy dx = ∫₀² x(∫₀² y² dy) dx = ∫₀² x[(y³/3)|₀²] dx = ∫₀² x(8/3) dx = (8/3)∫₀² x dx = (8/3)[(x²/2)|₀²] = 8/3

接下来，计算第四象限的积分：

∬D₄ xy² dA = ∫₂⁴∫₀²xy² dy dx

同样地，我们首先对y进行积分，然后对x进行积分。计算过程如下：

∫₂⁴∫₀²xy² dy dx = ∫₂⁴ x(∫₀² y² dy) dx = ∫₂⁴ x[(y³/3)|₀²] dx = ∫₂⁴ x(8/3) dx = (8/3)∫₂⁴ x dx = (8/3)[(x²/2)|₂⁴] = 8/3

将两个积分的结果相加，我们得到：

∬D xy² dA = ∬D₁ xy² dA + ∬D₄ xy² dA = 8/3 + 8/3 = 16/3

因此，区域D上的二重积分∬D xy² dA的值为16/3。这个结果展示了数学的神奇魅力，也让我们对二重积分有了更深入的理解。

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