与球面x2+y2+z2=9相切于点221的平面方程 球和平面相切
- 2025-08-06 19:17:34
在数学的领域中，球面和平面相切的问题是一个经典且富有挑战性的问题。本文将探讨如何求解与球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) 相切于点 \(P(2, 2, 1)\) 的平面方程。
首先，我们需要明确球面和平面相切的条件。对于球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = r^2\) 和平面 \(Ax + By + Cz + D = 0\)，它们相切的条件是球心到平面的距离等于球的半径。在本题中，球心 \(O(0, 0, 0)\) 到平面的距离等于球的半径 \(r = 3\)。
接下来，我们设所求的平面方程为 \(Ax + By + Cz + D = 0\)。由于平面与球面相切，球心到平面的距离等于球的半径，我们可以根据点到平面的距离公式得到以下方程：
\[
\frac{|A \cdot 0 + B \cdot 0 + C \cdot 0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = 3
\]
化简得：
\[
\frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = 3
\]
由于平面与球面相切，点 \(P(2, 2, 1)\) 必须满足平面方程。将点 \(P\) 的坐标代入平面方程，得到：
\[
2A + 2B + C + D = 0
\]
现在，我们有两个方程：
\[
\begin{cases}
\frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} = 3 \\
2A + 2B + C + D = 0
\end{cases}
\]
为了求解这个方程组，我们可以先假设 \(A = B\)，这样可以使问题简化。将 \(A = B\) 代入第二个方程，得到：
\[
4A + C + D = 0
\]
再将 \(A = B\) 代入第一个方程，得到：
\[
\frac{|D|}{\sqrt{2A^2 + C^2}} = 3
\]
由于 \(A = B\)，我们可以将 \(A\) 和 \(B\) 看作是相同的未知数，设 \(A = B = a\)。现在，我们有两个方程：
\[
\begin{cases}
4a + C + D = 0 \\
\frac{|D|}{\sqrt{2a^2 + C^2}} = 3
\end{cases}
\]
接下来，我们可以通过消元法求解这个方程组。首先，将第一个方程中的 \(D\) 用 \(4a + C\) 替换，得到：
\[
\frac{|4a + C|}{\sqrt{2a^2 + C^2}} = 3
\]
由于 \(4a + C\) 可能为正或为负，我们需要分两种情况讨论：
情况一：\(4a + C > 0\)
\[
\frac{4a + C}{\sqrt{2a^2 + C^2}} = 3
\]
平方两边，得到：
\[
\frac{(4a + C)^2}{2a^2 + C^2} = 9
\]
化简得：
\[
16a^2 + 8aC + C^2 = 18a^2 + 9C^2
\]
整理得：
\[
2a^2 - 8aC + 8C^2 = 0
\]
由于 \(a\) 和 \(C\) 是未知数，我们可以将 \(a\) 看作是关于 \(C\) 的一元二次方程的解。将 \(a\) 用 \(C\) 表示，得到：
\[
a = \frac{8C \pm \sqrt{64C^2 - 64C^2}}{4} = 2C
\]
情况二：\(4a + C < 0\)
\[
\frac{-(4a + C)}{\sqrt{2a^2 + C^2}} = 3
\]
平方两边，得到：
\[
\frac{(4a + C)^2}{2a^2 + C^2} = 9
\]
化简得：
\[
16a^2 + 8aC + C^2 = 18a^2 + 9C^2
\]
整理得：
\[
2a^2 - 8aC + 8C^2 = 0
\]
同样地，我们可以将 \(a\) 用 \(C\) 表示，得到：
\[
a = \frac{8C \pm \sqrt{64C^2 - 64C^2}}{4} = 2C
\]
综上所述，无论 \(4a + C\) 的正负，我们都得到 \(a = 2C\)。将 \(a = 2C\) 代入 \(4a + C + D = 0\)，得到：
\[
8C + C + D = 0
\]
化简得：
\[
D = -9C
\]
现在，我们已经得到了 \(A\)、\(B\)、\(C\) 和 \(D\) 的关系。由于 \(A = B\)，我们可以设 \(A = B = a\)，那么 \(C = \frac{a}{2}\)，\(D = -\frac{9a}{2}\)。因此，所求的平面方程为：
\[
a(x + y) + \frac{a}{2}z - \frac{9a}{2} = 0
\]
化简得：
\[
2(x + y) + z - 9 = 0
\]
这就是与球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\) 相切于点 \(P(2, 2, 1)\) 的平面方程。
「点击下面查看原网页 领取您的八字精批报告☟☟☟☟☟☟」
侵权及不良内容联系邮箱：seoserver@126.com，一经核实，本站将立刻删除。