马拉车算法

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马拉车算法（Borůvka's algorithm）是一种用于最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）的贪心算法。该算法由捷克数学家瓦茨拉夫·博鲁瓦卡（Václav Borůvka）在1926年提出，用于解决图论中的最小生成树问题。该算法适用于加权无向图，并且可以在多项式时间内找到给定图的最小生成树。

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以下是马拉车算法的基本步骤：

1. **初始化**：

- 将所有顶点标记为尚未加入树的状态。

- 创建一个空的最小生成树。

2. **选择边**：

- 在每一步中，选择一条连接最小生成树中的顶点和未连接顶点的权重最小的边。

3. **加入边**：

- 检查选中的边是否形成一个环。如果不会形成环，则将该边加入最小生成树中。

4. **重复步骤2和3**：

- 重复步骤2和3，直到所有顶点都被包含在最小生成树中。

5. **输出结果**：

- 当所有顶点都被包含在最小生成树中后，算法结束。此时得到的最小生成树即为所求。

具体实现时，可以按照以下步骤进行：

- 将所有顶点加入一个集合中，表示尚未加入最小生成树的顶点。

- 将所有边加入一个优先队列（或最小堆），按照边的权重进行排序。

- 在每一步中，从优先队列中取出权重最小的边。

- 如果边的两个顶点中，有一个已经在最小生成树中，而另一个不在，那么可以将这条边加入最小生成树中。

- 如果这条边会导致环的形成，则忽略它。

- 重复以上步骤，直到所有顶点都被包含在最小生成树中。

马拉车算法的时间复杂度取决于图的结构，但平均情况下为O(E log V)，其中E是边的数量，V是顶点的数量。这是因为每次选择边和检查环的操作都可能涉及优先队列的插入和删除操作，这些操作的时间复杂度为O(log V)。

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