多普勒效应公式的推导

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多普勒效应是指波源和观察者之间相对运动导致波的频率或波长发生变化的现象。以下是多普勒效应公式的推导过程：

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### 声波多普勒效应

假设波源静止，观察者在运动，我们以声波为例进行推导。

1. **波源和观察者的速度**：

- 设波源的速度为 \( v_s \)

- 设观察者的速度为 \( v_o \)

- 设声速为 \( v \)

2. **波源发出的波**：

- 波源静止时，发出的波在静止介质中的波长为 \( \lambda \)

- 频率为 \( f \)

3. **观察者接收到的波**：

- 观察者以速度 \( v_o \) 运动时，观察者接收到的波速为 \( v + v_o \)

- 观察者接收到的波长为 \( \lambda' \)

- 观察者接收到的频率为 \( f' \)

4. **波长的关系**：

- 在静止介质中，波速 \( v \) 与波长 \( \lambda \) 和频率 \( f \) 的关系为 \( v = \lambda f \)

- 观察者接收到的波速为 \( v + v_o \)，波长为 \( \lambda' \)，频率为 \( f' \)，则有 \( v + v_o = \lambda' f' \)

5. **多普勒效应公式**：

- 由于 \( v = \lambda f \)，我们可以将 \( \lambda \) 和 \( f \) 代入上述关系式中，得到：

\[

v + v_o = \frac{v}{f} f' = \frac{v}{\lambda} f'

\]

- 整理得到：

\[

\lambda' = \frac{v}{f'} = \frac{v}{f} \left(1 + \frac{v_o}{v}\right)

\]

- 这就是声波多普勒效应的公式，观察者接收到的频率 \( f' \) 与原频率 \( f \) 的关系为：

\[

f' = f \left(1 + \frac{v_o}{v}\right)

\]

### 光波多普勒效应

光波多普勒效应的推导过程与声波类似，只是光速 \( c \) 远大于声速 \( v \)，因此观察者接收到的波长变化非常小。

1. **光波多普勒效应公式**：

- 对于光波，多普勒效应公式为：

\[

f' = f \left(1 \pm \frac{v_o}{c}\right)

\]

- 其中，\( \pm \) 表示观察者相对于波源接近（+）或远离（-）。

通过以上推导，我们可以得到多普勒效应的公式，用于描述波源和观察者之间相对运动时波的频率或波长发生变化的现象。

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