开普勒第二定律推导近日点和远日点的速度用到什么思想(开普勒第二定律推导结论)

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开普勒第二定律，也称为面积定律，表明行星在椭圆轨道上运动时，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的面积。要推导近日点和远日点的速度，我们可以使用以下思想：

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1. **动量守恒**：当行星在椭圆轨道上运动时，由于没有外力作用在行星上（忽略太阳的其他行星的引力作用），行星的动量是守恒的。这意味着行星在轨道上的速度与它的位置有关。

2. **能量守恒**：由于没有外力做功，系统的机械能（动能加势能）也是守恒的。行星在轨道上的总能量（动能加势能）是恒定的。

3. **面积定律**：根据开普勒第二定律，行星和太阳的连线在相同的时间内扫过相等的面积。这意味着在行星靠近太阳（近日点）时，它必须以更高的速度运动，以便在较短的时间内扫过相同的面积；而在远离太阳（远日点）时，速度较慢。

现在，我们可以使用以下步骤来推导近日点和远日点的速度：

- **设定轨道参数**：设行星轨道为椭圆，半长轴为 \(a\)，近日点到太阳的距离为 \(a(1-e)\)，远日点到太阳的距离为 \(a(1+e)\)，其中 \(e\) 是椭圆的偏心率。

- **应用面积定律**：在极短的时间间隔 \(\Delta t\) 内，行星扫过的面积近似为一个扇形，其面积为 \(\frac{1}{2}r\Delta s\)，其中 \(r\) 是行星到太阳的距离，\(\Delta s\) 是行星在轨道上移动的距离。

- **计算速度**：由面积定律可知，在任意时间间隔 \(\Delta t\) 内，行星扫过的面积相等，因此有：

\[

\frac{1}{2}r\Delta s = \text{常数}

\]

对于近日点和远日点，我们可以写出：

\[

\frac{1}{2}(a(1-e))v_1\Delta t = \frac{1}{2}(a(1+e))v_2\Delta t

\]

其中 \(v_1\) 是近日点的速度，\(v_2\) 是远日点的速度。

- **化简求解**：由于 \(\Delta t\) 是任意时间间隔，我们可以消去它，得到：

\[

v_1 = \frac{a(1+e)}{a(1-e)}v_2

\]

由此可以得出，近日点的速度 \(v_1\) 比远日点的速度 \(v_2\) 大。

通过这种方法，我们可以看到，开普勒第二定律推导近日点和远日点速度时，使用了动量守恒、能量守恒以及面积定律的思想。

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