第二宇宙速度的计算公式推导过程(第二宇宙速度的求解)
- 2025-09-26 05:17:21
第二宇宙速度（又称为逃逸速度）是指物体摆脱地球引力束缚，进入太阳系外部区域所需要的最小速度。推导第二宇宙速度的公式可以通过能量守恒定律来完成。
**公式推导过程如下：**
1. **定义变量和概念：**
- \( m \) 表示物体的质量。
- \( g \) 表示地球表面的重力加速度。
- \( r \) 表示地球表面到物体的高度（即从地心到物体的距离）。
- \( v \) 表示物体绕地球运行的速度（也即轨道速度）。
- \( G \) 表示引力常数。
- \( M \) 表示地球的质量。
- \( E_{kin} \) 表示物体的动能。
- \( E_{pot} \) 表示物体的引力势能。
- \( h \) 表示物体到达的高度，相对于地面高度。
- \( V_{escape} \) 表示逃逸速度。
2. **动能与引力势能的关系：**
根据万有引力定律，物体所受的引力可以表示为：
\[ F = \frac{G M m}{r^2} \]
物体的动能 \( E_{kin} \) 表示为：
\[ E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2 \]
物体的引力势能 \( E_{pot} \) 在无限远处相对于地面表示为：
\[ E_{pot} = - \frac{G M m}{r} \]
3. **应用能量守恒定律：**
为了让物体摆脱地球引力束缚，物体的动能应该全部转化为引力势能。因此，我们有：
\[ E_{kin} + E_{pot} = 0 \]
4. **设定高度：**
设物体从地面（r = R）开始加速到第二宇宙速度所需的高度h处（r = R + h）。在此处，引力势能为：
\[ E_{pot} = - \frac{G M m}{R + h} \]
5. **推导逃逸速度公式：**
物体在达到高度 \( h \) 时的速度等于逃逸速度 \( V_{escape} \)。因此，动能表达式可以改写为：
\[ \frac{1}{2} m V_{escape}^2 \]
将上述两个公式应用于能量守恒定律：
\[ \frac{1}{2} m V_{escape}^2 - \frac{G M m}{R + h} = 0 \]
6. **在地面处的引力势能：**
物体在地面的引力势能（相对于无限远）为：
\[ E_{pot0} = - \frac{G M m}{R} \]
7. **计算地面势能与无限远处的能量差：**
为了使物体达到无穷远处（\( r \to \infty \)），势能为零。能量差等于物体所获得的最小速度对应的动能。根据上述关系：
\[ E_{kin} - E_{pot0} = \frac{1}{2} m V_{escape}^2 + \frac{G M m}{R} = 0 \]
8. **整理逃逸速度的最终公式：**
由此，可以整理得到逃逸速度的公式为：
\[ V_{escape}^2 = 2 \frac{G M}{R} \]
这里的 \( R \) 通常使用地球半径的值，记作 \( R \approx 6,371 \, \text{km} \)。最终，我们可以计算出地球的第二宇宙速度：
\[ V_{escape} \approx 11.2 \, \text{km/s} \]
通过上述步骤，我们得到了地球表面的第二宇宙速度公式： \( V_{escape}^2 = 2 \frac{G M}{R} \)，也就是 \( V_{escape} = 11.2 \, \text{km/s} \)。这个公式也适用于任何有质量的星体。
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