第二宇宙速度的推导过程详细(第二宇宙速度公式怎么推导)

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第二宇宙速度是指物体在地球表面或附近，摆脱地球引力束缚，成为一颗绕太阳运行的行星，而不再返回地球所需的最小速度。以下是其推导过程：

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### 基本原理

1. **动能定理**：物体动能 \( K \) 与其速度 \( v \) 的平方成正比，即 \( K = \frac{1}{2}mv^2 \)，其中 \( m \) 为物体质量。

2. **引力势能**：在地球表面，物体由于地球引力而具有的势能 \( U \) 可以表示为 \( U = -\frac{GMm}{R} \)，其中 \( G \) 为引力常数，\( M \) 为地球质量，\( R \) 为地球半径。

3. **机械能守恒**：在无外力作用下，物体的机械能（动能 + 势能）保持不变。

### 推导过程

1. **设定初始条件**：

- 物体在地球表面，初始速度为 0。

- 物体质量为 \( m \)。

- 地球质量为 \( M \)。

- 地球半径为 \( R \)。

2. **物体脱离地球所需动能**：

当物体以第二宇宙速度 \( v_2 \) 离开地球时，它将不再受到地球引力束缚。根据机械能守恒定律，此时物体的动能等于其引力势能的绝对值：

\[

\frac{1}{2}mv_2^2 = \left| -\frac{GMm}{R} \right|

\]

3. **解方程求 \( v_2 \)**：

简化上述方程，可以得到：

\[

\frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{GMm}{R}

\]

消去 \( m \) 并将方程两边乘以 2，得到：

\[

v_2^2 = \frac{2GM}{R}

\]

最后，对两边开平方，得到第二宇宙速度的表达式：

\[

v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

\]

### 总结

通过上述推导，我们得到了第二宇宙速度的公式：

\[

v_2 = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

\]

其中：

- \( G \) 为引力常数，\( G = 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{m}^3\text{kg}^{-1}\text{s}^{-2} \)。

- \( M \) 为地球质量，\( M \approx 5.972 \times 10^{24} \, \text{kg} \)。

- \( R \) 为地球半径，\( R \approx 6.371 \times 10^6 \, \text{m} \)。

代入这些数值，可以计算出第二宇宙速度的大致值为 \( 11.2 \, \text{km/s} \)。

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