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余弦定理如何用

余弦定理是数学中解决三角形边长和角度关系的一个公式，主要用于任意三角形。它有以下两种形式：

1. 边长与角度关系：

设三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c。余弦定理可以表示为：

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C

2. 角度与边长关系：

设三角形ABC中，角A、角B、角C的对边分别为a、b、c。余弦定理可以表示为：

\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

使用余弦定理的步骤如下：

1. 确定三角形的边长和角度，或者至少知道其中的两个。

2. 根据需要解决的问题，选择余弦定理的适当形式。

3. 将已知的边长和角度代入公式。

4. 进行代数运算，解出未知边长或角度。

以下是一个使用余弦定理的例子：

**例题**：在三角形ABC中，已知边长AB=5，BC=8，角B=120°。求边AC的长度。

**解答**：

首先，选择余弦定理的第一种形式，因为我们要找到边AC的长度：

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B

代入已知数值：

AC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 120°

计算：

AC^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot (-0.5) \quad \text{（因为 $\cos 120° = -0.5$）}

AC^2 = 89 + 40

AC^2 = 129

最后，求出AC的长度：

AC = \sqrt{129}

所以，边AC的长度大约是11.35。

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