矩阵运算题目

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题目：给定两个矩阵 \(A\) 和 \(B\) 如下：

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]

请计算 \(A + B\)、\(A - B\)、\(AB\) 和 \(BA\)。

解答步骤：

1. **计算矩阵 \(A + B\)：**

\[ A + B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \]

2. **计算矩阵 \(A - B\)：**

\[ A - B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{bmatrix} \]

3. **计算矩阵 \(AB\)：**

\[ AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 5 + 2 \cdot 7) & (1 \cdot 6 + 2 \cdot 8) \\ (3 \cdot 5 + 4 \cdot 7) & (3 \cdot 6 + 4 \cdot 8) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 26 \\ 43 & 58 \end{bmatrix} \]

4. **计算矩阵 \(BA\)：**

\[ BA = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (5 \cdot 1 + 6 \cdot 3) & (5 \cdot 2 + 6 \cdot 4) \\ (7 \cdot 1 + 8 \cdot 3) & (7 \cdot 2 + 8 \cdot 4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 23 & 38 \\ 41 & 58 \end{bmatrix} \]

以上为该矩阵运算题目的解答。

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