矩阵运算典型例题

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当然，下面我将给出几个矩阵运算的典型例题，包括加法、减法、乘法和逆矩阵等。

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### 例题 1：矩阵加法

假设有两个矩阵 A 和 B：

A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)

B = \(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\)

求 A + B。

**解答：**

A + B = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}\)

### 例题 2：矩阵减法

假设有两个矩阵 A 和 B：

A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)

B = \(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\)

求 A - B。

**解答：**

A - B = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) - \(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{bmatrix}\)

### 例题 3：矩阵乘法

假设有两个矩阵 A 和 B：

A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)

B = \(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\)

求 A * B。

**解答：**

A * B = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) * \(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 1*5 + 2*7 & 1*6 + 2*8 \\ 3*5 + 4*7 & 3*6 + 4*8 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 5 + 14 & 6 + 16 \\ 15 + 28 & 18 + 32 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}\)

### 例题 4：求逆矩阵

假设矩阵 A 是：

A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)

求 A 的逆矩阵 A^{-1}。

**解答：**

首先，计算 A 的行列式 det(A)：

det(A) = 1*4 - 2*3 = 4 - 6 = -2

由于 det(A) ≠ 0，矩阵 A 是可逆的。

接下来，计算 A 的伴随矩阵 adj(A)：

adj(A) = \(\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\)

最后，计算 A 的逆矩阵：

A^{-1} = \(\frac{1}{det(A)} \cdot adj(A)\) = \(\frac{1}{-2} \cdot \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}\)

这样，我们就完成了这些矩阵运算的例题。

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