xy2在x2+y2<=4的定义域内的二重积分为多少

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第一篇：

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在数学分析中，二重积分是研究函数在二维平面上的积分问题。今天，我们要探讨的是函数 \( xy^2 \) 在区域 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 内的二重积分。这个区域是一个半径为2的圆，包括圆内的所有点。

首先，我们需要确定积分区域。由题意知，积分区域 \( D \) 是由不等式 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 描述的圆。为了方便计算，我们可以将这个区域转换为极坐标系。在极坐标系中，点 \( (x, y) \) 可以表示为 \( (r\cos\theta, r\sin\theta) \)，其中 \( r \) 是从原点到点的距离，\( \theta \) 是从正 \( x \) 轴到点的向量与正 \( x \) 轴的夹角。

将 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 转换为极坐标，我们得到 \( r^2 \leq 4 \)，即 \( 0 \leq r \leq 2 \)。同时，\( \theta \) 的取值范围是从 \( 0 \) 到 \( 2\pi \)，因为我们要覆盖整个圆。

接下来，我们计算二重积分。函数 \( f(x, y) = xy^2 \) 在极坐标下变为 \( f(r\cos\theta, r\sin\theta) = r\cos\theta \cdot r^2\sin^2\theta = r^3\cos\theta\sin^2\theta \)。因此，二重积分可以表示为：

\[ \iint_D xy^2 \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3\cos\theta\sin^2\theta \, r \, dr \, d\theta \]

\[ = \int_0^{2\pi} \cos\theta\sin^2\theta \, d\theta \int_0^2 r^4 \, dr \]

\[ = \int_0^{2\pi} \cos\theta\sin^2\theta \, d\theta \cdot \left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^2 \]

\[ = \int_0^{2\pi} \cos\theta\sin^2\theta \, d\theta \cdot \frac{32}{5} \]

为了计算这个积分，我们可以使用三角恒等式 \( \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \) 来简化积分表达式。经过一系列的积分计算，我们最终可以得到积分的值。

第二篇：

在上篇文章中，我们探讨了函数 \( xy^2 \) 在区域 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 内的二重积分。通过将积分区域转换为极坐标系，并利用极坐标下的积分公式，我们得到了一个关于 \( \theta \) 的积分表达式。

为了计算这个积分，我们需要对 \( \theta \) 的积分进行求解。利用三角恒等式 \( \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \)，我们可以将 \( \cos\theta\sin^2\theta \) 表达式中的 \( \sin^2\theta \) 替换为 \( \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \)。这样，积分表达式变为：

\[ \int_0^{2\pi} \cos\theta\left(\frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\right) \, d\theta \]

这个积分可以通过分部积分法进行求解。经过一系列的积分计算和简化，我们可以得到 \( \theta \) 的积分结果。

将 \( \theta \) 的积分结果代入之前得到的关于 \( r \) 的积分表达式中，我们就可以计算出整个二重积分的值。这个值代表了函数 \( xy^2 \) 在区域 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 内的二重积分，它为我们提供了一个关于该函数在该区域内的积分性质的深刻理解。

合并后的文章：

在数学分析中，二重积分是研究函数在二维平面上的积分问题。今天，我们要探讨的是函数 \( xy^2 \) 在区域 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 内的二重积分。这个区域是一个半径为2的圆，包括圆内的所有点。

首先，我们需要确定积分区域。由题意知，积分区域 \( D \) 是由不等式 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 描述的圆。为了方便计算，我们可以将这个区域转换为极坐标系。在极坐标系中，点 \( (x, y) \) 可以表示为 \( (r\cos\theta, r\sin\theta) \)，其中 \( r \) 是从原点到点的距离，\( \theta \) 是从正 \( x \) 轴到点的向量与正 \( x \) 轴的夹角。

将 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 转换为极坐标，我们得到 \( r^2 \leq 4 \)，即 \( 0 \leq r \leq 2 \)。同时，\( \theta \) 的取值范围是从 \( 0 \) 到 \( 2\pi \)，因为我们要覆盖整个圆。

接下来，我们计算二重积分。函数 \( f(x, y) = xy^2 \) 在极坐标下变为 \( f(r\cos\theta, r\sin\theta) = r\cos\theta \cdot r^2\sin^2\theta = r^3\cos\theta\sin^2\theta \)。因此，二重积分可以表示为：

\[ \iint_D xy^2 \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3\cos\theta\sin^2\theta \, r \, dr \, d\theta \]

\[ = \int_0^{2\pi} \cos\theta\sin^2\theta \, d\theta \int_0^2 r^4 \, dr \]

\[ = \int_0^{2\pi} \cos\theta\sin^2\theta \, d\theta \cdot \left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^2 \]

\[ = \int_0^{2\pi} \cos\theta\sin^2\theta \, d\theta \cdot \frac{32}{5} \]

为了计算这个积分，我们可以使用三角恒等式 \( \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \) 来简化积分表达式。经过一系列的积分计算，我们最终可以得到积分的值。

在上篇文章中，我们探讨了函数 \( xy^2 \) 在区域 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 内的二重积分。通过将积分区域转换为极坐标系，并利用极坐标下的积分公式，我们得到了一个关于 \( \theta \) 的积分表达式。

接下来，我们需要对 \( \theta \) 的积分进行求解。利用三角恒等式 \( \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \)，我们可以将 \( \cos\theta\sin^2\theta \) 表达式中的 \( \sin^2\theta \) 替换为 \( \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \)。这样，积分表达式变为：

\[ \int_0^{2\pi} \cos\theta\left(\frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\right) \, d\theta \]

这个积分可以通过分部积分法进行求解。经过一系列的积分计算和简化，我们可以得到 \( \theta \) 的积分结果。

将 \( \theta \) 的积分结果代入之前得到的关于 \( r \) 的积分表达式中，我们就可以计算出整个二重积分的值。这个值代表了函数 \( xy^2 \) 在区域 \( x^2 + y^2 \leq 4 \) 内的二重积分，它为我们提供了一个关于该函数在该区域内的积分性质的深刻理解。

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