xy二重积分 x2+y2<=1 二重积分x^2+y^2dxdy d:|x|小于1|y|小于1

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这个问题是一个求解在极坐标下的二重积分，积分的区域是一个圆环，内圆半径为1，外圆半径小于1。

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首先，将圆环区域用极坐标表示。由于积分区域是`|x|小于1`和`|y|小于1`，这代表的是一个单位圆`x^2 + y^2 = 1`内的区域，并且是`|x| < 1`和`|y| < 1`的交集。在极坐标中，x = r*cos(θ)和y = r*sin(θ)，其中r是极径，θ是极角。

积分区域由r从0到1，θ从0到2π的圆构成。因此，二重积分可以写成：

\[ \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \, dr \, d\theta \]

接下来，我们分别对r和θ进行积分：

\[ \int_0^{2\pi} \left( \int_0^1 r^2 \, dr \right) d\theta \]

对r进行积分：

\[ \int_0^1 r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \]

然后，将这个结果乘以θ的积分，即：

\[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{3} \, d\theta \]

对θ进行积分：

\[ \frac{1}{3} \int_0^{2\pi} d\theta = \frac{1}{3} \left[ \theta \right]_0^{2\pi} = \frac{1}{3} \cdot 2\pi = \frac{2\pi}{3} \]

所以，最终的结果是：

\[ \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \, dr \, d\theta = \frac{2\pi}{3} \]

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